$\displaystyle \Huge {\frac {\sqrt[3]{x^2}}{4 y^5} }$ = x^(2/3)/4/y^5

• Innledning
• Operander og operasjoner
• Operatorpresedens
• Brøker
• Operatorer og funksjoner
• Potenser, røtter og andre operasjoner
• Ulikheter, tallområder
• Punkter, vektorer
• Fra enlinje til 2D formel
• Eksempler

Innledning

Matematiske uttrykk formuleres med et sett regler og skrivemåter som folk opp gjennom tidene har blitt enige om. Formler og regneuttrykk kan bli temmelig innfløkte, men de har en indre logikk som forteller hvordan beregningene skal utføres – i tur og orden. Regneuttrykk settes opp i en todimensjonal figur med brøkstrek, indekser, eksponenter, rottegn, integraltegn, matriser og andre symboler. En formeleditor lager visuelle regneuttrykk omtrent slik vi er vant til å skrive for hånd, men den kan ikke hjelpe oss med å gjøre beregninger eller finne ut om vi har laget matematisk korrekte formuleringer. Matematikkprogrammer lar oss taste inn regnestykker med menyvalg og assistenter slik at vi tvinges til å lage OK matematikk på en presentabel form.

Dette heftet dreier seg om hvordan vi kan sette opp regnestykker uten andre symboler og tegn enn de vi kan taste inn langs en linje i en teksteditor. I mangel av noe bedre vil jeg kalle et slikt oppsett av regneuttrykk for enlinjet matematikk. Regneark, kalkulatorer og programmeringsspråk vil ha regnestykker på en tekstbasert, enlinjet form. Det finnes mange varianter av skrivemåter og formuleringer - dette heftet viser noen av de mest vanlige.

De fleste regneuttrykkene nedenfor er testet i WolframAlpha, http://www.wolframalpha.com.

Operander og operasjoner

Et regneuttrykk består litt forenklet sagt av operander som blir blir bundet sammen av operatorer. Operander er tall eller variabler (2, 3.4, π, x, y, z, ...), operatorer er tegn for matematiske operasjoner (+, -, *, /, √ , ∫,...). De fleste operatorer er binære, de setter sammen to operander, for eksempel til en sum (2+3), et produkt (3*x) eller en brøk (a/4). Noen operatorer er unære, de endrer verdien av en enkelt operand, for eksempel negering (-3), fakultet (4!) eller absoluttverdi (|-5|).

Operatorpresedens

Med operatorpresedens menes at operatorene har en bestemt ordning i forhold til hverandre slik at operasjoner på høyere nivå utføres før operasjoner på lavere nivå. Ordningen er slik:

1. (), []   Parenteser
2. !        Fakultet
3. ^        Eksponenter
4. -        Negering, 'minus'
5. * /      Multiplikasjon og divisjon
6. + -      Addisjon og subtraksjon

Parenteser er egentlig ikke operatorer, men er tatt med i lista for å vise at de samler deler av regneuttrykkene som evalueres før andre operasjoner. Med enlinjet matematikk bør vi ha en evaluering i bakhodet når vi taster inn uttrykk. Oppskriften er grovt sagt slik:

1. Evaluering skjer fra venstre mot høyre,
2. evaluering skjer etter operatorpresedens,
3. parenteser overstyrer presedens.

Her er noen eksempler som belyser evaluering og operatorpresedens:

    2+3*5-8/4           
    = 2+15–8/4          Operatoren * har presedens over +
    = 17–8/4            Operatoren + beregner
    = 17–2              Operatoren / har presedens over -
    = 15        

    8/2*3               Operatorene / og * har samme presedens,
    = 4*3               evaluering skjer fra venstre mot høyre
    = 12        

    7+6*(5-4)/3         * har høyere presedens enn +, men () overstyrer
    = 7+6*(1)/3         Parentesuttrykket evalueres
    = 7+6/3             6*1 evalueres
    = 7+2               / har også høyere presedens enn +
    = 9

Potensen $x^n$ skrives som x^m. Operatoren ^ binder mot venstre og har høy presedens, slik at uttrykket x^m-n blir evaluert som $x^m-n$ i motsetning til x^(m-n) som tilsvarer $x^{m-n}$. Potens av potens ${x^m}^n$, blir evaluert som x^(m^n), altså fra topp mot bunn. En av regnereglene for potenser sier at $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$, og et slikt uttrykk skrives som (x^a)^b eller x^(a*b) på enlinjet form.

I algebra sløyfes gjerne gangetegnet mellom variabler som består av en bokstav, $x(2+3y) = x \cdot (2 + 3 \cdot y)$. Det kan vi også gjøre i enlinjet form, men det er ikke akseptabelt i regneark og (de fleste ) matematikkprogrammer, altså bruk helst * selv om det virker overdrevet med x*(2+3*y).

Brøker

Brøker bruker skråstrek, /, som 'bøkstrek', $\frac {a^2} {3b}$ skrives a^2/(3*b) eller a^2/3/b.
Uttrykkene $ a = \frac{\frac {72}6}{2}$ og $ b = \frac {72}{\frac 6 2}$ er OK matematikk, det er såkalte brudne brøker. Måten vi plasserer brøkstrekene i forhold til likhetstegnet forteller hvordan vi skal beregne (forkorte, evaluere) brøkene. Med enlinje inntasting vil det se slik ut,

    a=(72/6)/2      b=72/(6/2)

og verdiene blir evaluert slik at når en evaluatoren støter på en åpningsparentes blir hele parentesuttrykket beregnet før neste steg,

    a = (72/6)/2 = (12)/2 = 6
    b = 72/(6/2) = 72/(3) = 24

En litt mer omfattende brøk som(x^(2–y)+ z/3)/(3/4–(a+b)/5) kan bli litt uoversiktlig. Noen velger å bruke forskjellige parentestyper til å utheve deler av uttrykket, men matematikkprogrammer liker ikke det. En variant kan være å dele oppgaven i biter, for eksempel

    teller = x^(2–y)+ z/3
    nevner =  3/4–(a+b)/5
    svar = teller / nevner

-slik vi kan gjøre med minnelagring i en kalkulator.

Operatorer og funksjoner

En funksjon er litt slurvete sagt en oppskrift på hvordan inndata skal omformes til utdata. Vi kan tenke oss en funksjon med navnet sum som legger sammen to tall som inndata eller argumenter som de også kan kalles. Summen av 4 og 5 blir da satt opp som sum(4, 5) og hele uttrykket har verdien 9. Produktet av 2 og 3 kan formuleres som produkt(2, 3) med verdi 6. Et uttrykk som 2+3*4 vil bli kombinasjonen sum(2, produkt(3, 4)) for å beholde operatorpresedens.

Operatorer og funksjoner er to sider av samme sak, en måte å uttrykke hvordan inndata skal mikses sammen til utdata. Det mest effektive er å bruke operatorsymboler, men noen ganger tyr vi til funksjoner for å unngå å lage formler i 2D.

Regneark, kalkulatorer, matematikkprogrammer og programmeringsspråk bruker stort sett funksjoner til å lage matematikk, vi kan til og med lage egne funksjoner med selvvalgte navn til spesielle formål.

Potenser, røtter og andre operasjoner

Aritmetikken viser at rotuttrykk kan skrives som potenser, kvadratrota av y blir $\sqrt y = y^{\frac 1 2}$ = y^(1/2) og kubikkrota av z blir $\sqrt[3] z = z^{\frac 1 3}$ = z^(1/3). Hva med $\sqrt[4] \frac{a^3}{b^5}$? Det kan skrives som (a^3/b^5)^(1/4).
Kvadratrot kan skrives som funksjonsuttrykk, $\sqrt 7$ = sqrt(7), det samme gjelder n-te rot, $\sqrt[5] 123$ = nthroot(123, 5).

De matematiske symbolene for differensial og integral erstattes med funksjonsuttrykk, tilsvarende det vi bruker for trigonometriske funksjoner. Funksjonsnavnene har gjerne engelsk språkform med et parentesområde bak navnet der vi lister opp argumenter. Derivasjons- og integrasjonsvariabelen må også listes opp etter funksjonsuttrykket. Bestemte integraler har i tillegg argumenter for integrasjonsområdets nedre og øvre grense,

$\displaystyle\frac d{dx} A x^3$ = diff(A*x^3, x)            (MATLAB, Maple)

$\displaystyle\int_0^3 \!\frac {x^{-2}} B dx$ = int(x^(-2)/B, x, 0, 3)  (MATLAB, ..)

Greske bokstaver og andre symboler kan skrives fullt ut eller det kan brukes andre (lignende?) bokstaver, kanskje med en liten symbolliste. Potenser med grunntallet e for naturlig logaritme blir ofte uttrykt med funksjonen exp(),   $e^{- \frac x 2}$ = exp(-x/2).

Sum og absoluttverdi lages også som funksjonsuttrykk,

$\displaystyle\sum_{n=0}^6 \frac 1 {2^n}$ = sum(1/2^n, n, 0, 6)
$\displaystyle\sum_{n=1}^7 |(-1)^n\frac 1 {2^{n-1}}|$ = sum(abs((-1)^n/2^(n-1)), n, 1, 7)

Matematikkprogrammer bruker de ulike parentestypene til å uttrykke indeksering eller matriseoppstillinger. Indekseringene i rekursjonslikningen $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ skrives med []-parenteser, a[n+2] = a[n+1]+a[n]. Krøllparenteser brukes gjerne til matriser og mengder.

Logaritmer med grunntall e blir vanligvis uttrykt med funksjonen log(),  $7 = e^{\log 7}$ = exp(log(7)). Algebra gir regler for omregning for logaritmer med andre grunntall, men en nokså vanlig skrivemåte er for eksempel log10() og log2() for 10tall og 2tall logaritmer. I norske lærebøker bruker vi ln x som skrivemåte for naturlig lagaritme til x. Ute i verden betyr log x det samme, og den briggske logaritmen (10-talls-logaritmen) skrives som log10 x.

Ulikheter, tallområder

Sammenlikningsoperatorene skrives som

    >       større enn
    <       mindre enn
    >=      større enn eller lik,
    <=      mindre enn eller lik,

I matematikk brukes dobbeltulikheter til å sette opp tallområder, for eksempel  -5 <x ≤ 3. I programvare (MATLAB, ...) blir de to ulikhetene blir gjerne satt opp som et logisk uttrykk,

    (x > -5) & (x <= 3)       'x er større enn -5  OG  x er mindre enn eller lik 3'
    (x < 0) | (x > 7)         'x er mindre enn 0  ELLER  x er større enn 7'

Punkter, vektorer

Et punkt i planet eller rommet angis med navn/bokstav og koordinater i et vanlig parentesområde i rekkefølge x, y og z-retning.

    A(2, -3)            P(-2, 3, -4)            Q(1, 0, -1)

Vektorer skrives med lengdekomponenter i et hakeparentesområde, men symbolet 'pil over' navn eller bokstav blir gjerne sløyfet. Det er vanlig å skrive vektoren fra et punkt P til et annet punkt Q som PQ slik at vektoren QP blir like lang, men motsatt rettet av PQ.

    k = [4, -5, 6]              AB = [0, 0, 7]              PQ = [3, -3, 3]

Lengden av vektoren PQ skrives som abs(PQ) slik at det ikke blir tvil om hva som menes,

    abs(PQ) = (3^2 + (-3)^2 + 3^2)^(1/2) = 3^(3/2)

Skalarprodukt (prikkprodukt) mellom to vektorer kan skrives med et punktum som operator, men aller helst med funksjonen dotP(),

    arbeid = dotP(k, AB)

og kryssproduktet som gir en ny vektor lages med funksjonen crossP(),

    g = crossP(AB, PQ)

-slik at formelen  $\vec a \cdot \vec b = |\vec a | \cdot |\vec b| \cdot \cos C$  fra vektorregningen blir

    dotP(a, b) = abs(a)*abs(b)*cos(C)

og formelen  $|\vec a \times \vec b| = |\vec a | \cdot |\vec b| \cdot \sin C$  blir

    abs(crossP(a, b)) = abs(a)*abs(b)*sin(C)

Fra enlinje til 2D formel

Noen applikasjoner gjør det mulig å hente enlinje matematisk uttrykk ut fra en 2D formel, eller også gjøre det motsatte – lage 2D formel ut fra enlinje uttrykk.

LaTeX er et system for å lage strukturerte dokumenter. Redigeringen foregår i en enkel teksteditor og de ulike elementene i teksten markeres med makroer (kommandoer). Teksten omformes så av en prosessor til et visuelt dokument. LaTeX er mye brukt i tekniske fag i universitetsmiljøer. Et eksempel på en formel skrevet i LaTeX er

    \frac {\sqrt[3]{x^2}} {4 y^5}

- som vises slik i dokumentet:   $\displaystyle \frac {\sqrt[3]{x^2}} {4 y^5}$
De fleste matematiske uttrykk i denne nettsiden er laget i LaTeX.

AsciiMath er et markeringsspråk (markup language) som har enklere kommandoer enn LaTeX. Det samme uttrykket som vist ovenfor blir skrevet slik i AsciiMath,

    root(3) (x^2/(4y^5)

Nettstedet WolframAlpha, http://www.wolframalpha.com , er en stor kunnskapsbase der det er mulig å taste inn regnestykker og få svar – og til og med en stegvis beskrivelse av hvordan svaret ble beregnet. Uten at du ber om det blir funksjoner tegnet med grafer, alternative skrivemåter vist, mm. Det som tastes inn behøver ikke å følge strikse regler for enlinje yttrykk, det holder å bruke vanlige (engelske) matematiske ord. Her er et eksempel der jeg ønsker å finne $\displaystyle\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \sin x \;\mathrm{d}x$.

Jeg taster inn   integrate sin(x) from pi/6 to pi/2   i inputfeltet, og WolframAlpha tolker inntastingen og viser resultatet. Prøv, klikk [WolframA]!

WolframAlpha viser først hvordan inntastingen tolkes i en 2D formel, deretter vises svaret på symbolsk eller numerisk form. Føres musepeker over formeluttrykket får vi muligheter til å kopiere enlinje tekst (plaintext).

I MATLAB ligger det også muligheter på lur til å vise svar i pene formler. Her har jeg laget en integrasjon i symbolsk matematikk,  $\displaystyle \int 2 x + \frac{\sin 3 x}2\;\mathrm{d}x$,

>> int(2*x + sin(3*x)/2, x)                         
ans =                                                           
    x^2 – cos(3*x)/6                                        
>> latex(ans)                                               
ans =                                                           
    x^2 - \frac{\cos\!\left(3\, x\right)}{6}

- og MATLAB svarer som vanlig med et enlinje svar, x^2-cos(3*x)/6. Dette uttrykket blir så omvandlet til LaTex kode med funksjonen latex(), og denne koden vises slik i applikasjoner som kan lese LaTex:  $\displaystyle x^2 - \frac{\cos\!\left(3\, x\right)}{6}$.

Programmeringsspråket Python kan også takle symbolsk matematikk med tilleggspakken SymPy. Prøv, klikk [SymPy]!

Eksempler

Her er eksempler på noen matematiske uttrykk skrevet med formeleditor og på enlinje form. Det er konsekvent brukt * mellom alle ledd i en multiplikasjon. Parenteser er brukt til å gruppere tellere og nevnere eller andre deler av uttrykkene. Ekstra mellomrom mellom tall og operatorer er valgfritt.